PROGRESIONES

PROGRESIONES

Un tipo especial de sucesiones son las denominadas progresiones aritméticas y geométricas. Son especialmente útiles por ser muy sencillas y aparecer en numerosos fenómenos.

I. Progresiones aritméticas

1. Definición: Son aquellas sucesiones en las que cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo, excepto el primero. Este número fijo recibe el nombre de diferencia (d) de la progresión.
Si consideramos una progresión aritmética general dada por:

Símbolo de una progresión aritmética:
Si delante de una sucesión de números ves el símbolo ÷ refiere a una progresión aritmética o también con p. a.

Ejemplo: ÷ 3.8.13.18.......

Si pones este símbolo te ahorras escribir las palabras: progresión aritmética.

2. Elementos:
Los términos de una progresión aritmética son:
Ø La diferencia (d) que se halla en restando el numero siguiente con el anterior.
Ø El primer termino que se le conoce como a1, en el ejemplo anterior.
Ø El numero de términos o cantidad de términos que se le denota con una letra n, de no especificarse es infinita.
Ø Los términos que conforman la progresión, los cuales los hallas con el término general.


Ejemplos:
Reconocer los elementos de las siguientes progresiones:
5, 8, 11, 14,...,66
7, 5, 3, 1, -1, -3, -5,...,-51

3. Tipos:
Dependiendo de que la diferencia de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:

Ø Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior. (d>0).

Ejemplos:
1, 3, 5, 7, 9,...
8, 13, 18, 23, 28,…

Ø Si la diferencia de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos iguales.

Ejemplos:
8, 8, 8, 8, 8,…..

Ø Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Ejemplos:

11; 7; 3; ‐1; ‐5;....

93, 90, 87, 84,….

4. Termino General:

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.

Fórmula del término general de una progresión aritmética

Esta es la expresión del término general de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y su diferencia es d.

5. Propiedades:

a) Termino central

Numero de términos pares
La progresión aritmética con un numero par de términos, el termino central (ac) se halla de la siguiente manera.
a1, a2, a3, a4,….., an
1º Identificamos en primero y ultimo elemento:
Primero = a1, Ultimo = an
2º Hallamos la diferencia:
a2 – a1= a3 – a2 =….= an – an-1 = d
3º Calculamos el numero de términos

4º Entonces el término central será el que ocupe la mitad del número de términos
5º El ac se halla de la siguiente manera: Numero de términos impares.
La progresión aritmética con un número impar de términos, el término central (ac) es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an.
Sea la progresión aritmética:



b) Interpolación.
Interpolar k términos diferenciales entre dos números a y b dados, es formar una progresión aritmética de k + 2 términos, siendo a el primero y b el ultimo. El dilema consiste en encontrar la diferencia d de la progresión, para la cual aplicamos:

6) Suma de una progresion aritmetica

Para obtener la suma “s” de “n” términos de una progresión aritmética en la que el primer termino es a1 y la diferencia común es d, se observa que los términos de la progresión son:




Y así sucesivamente hasta llegar al ultimo termino, que de acuerdo a la formula general es:




Por los tanto:





Obteniendo como formula:







Esta expresión de la suma de los n términos de una progresión aritmética, también se podrá escribir en función del primero y del último termino de la siguiente manera:















Ejemplos
1)Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión infinita.
(÷) 3, 7, 11, 15, …….
Solución

La diferencia o razón la hallamos restando dos términos consecutivos cualesquiera, de esta forma d valdrá:
r= 7 – 3=4

















2)El término de una progresión aritmética es 21 y la suma de los 17 primeros términos es 0. Hallar los tres primeros términos

Ejercicios de Progresiones Aritmeticas

1. El primer término de una progresión aritmética es 17, el último 12 y la diferencia -1/2. Averigua cuántos términos tiene esta progresión. (2 pts)

2. Interpola 6 medios aritméticos entre 32 y 70. (2 pts)

3. Encontrar los cinco primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que el décimo término vale 60 y la diferencia vale 3. (2 pts)

4. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm. (2 pts)

5. Calcular cuántos días estuvo trabajando un camarero en un establecimiento sabiendo que el primer día recibió una gratificación de S/. 10, y que cada día que pasaba recibía S/. 3 más de gratificación, llegando a cobrar el último día S/. 55. (2 pts)

6. Las cinco cifras de un número están colocadas en progresión aritmética. Sabiendo que la suma de los valores absolutos de todas sus cifras es 20 y que la primera es el doble de la tercera halla dicho número. (2 pts)

7. Interpola cuatro medios diferenciales entre 7 y 22. (Se trata de construir una progresión aritmética de 6 términos de manera que el primero valga 7 y el último 22). (2 pts)

8. Interpola ocho medios diferenciales entre y (2 pts)

9. Hallar los términos: (1 pts)
a. El trigésimo en: 1,6, 11, 16,...
b. El decimosexto en: 1,5, 9, 13,...
c. El vigesimocuarto en: -8, -5, -2, 1,...

10. Interpolar los medios diferenciales que se indican: (2 pts)
a) Cuatro entre 5 y 25
b) Tres entre 12 y -2
c) Cinco entre 3 y 27

11. Hallar los términos que se indican de las siguientes progresiones aritméticas: (1 pts)
a) El término 20 en: 1, 6, 11, 16...
b) El término 6 en: 3, 7, 11, 15...
c) El término 12 en: -4, 0, 4, 8...
d) El término 10 en: 2, 5, 8, 11...

Ejercicios de Suma de Progresiones Aritmeticas

A)Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión ilimitada:(1 pts.)
(÷) 15, 19, 23, 27, 31,….

B)El termino 10 de una progresión aritmética es 70, el término 20 es 270. Calcular la suma de los 50 primeros términos. (1 pts.)

C)Sabiendo que la diferencia de una progresión aritmética es 3 y que la suma de los 25 primeros términos es 29 veces el ultimo, calcular este y el primero. (1 pts.)

D)Hallar tres términos de una progresión aritmética cuya suma es 18 y la suma del primero y el segundo es igual al tercero disminuido en 2. (2 pts.)

E)La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12 y la razón 16. Calcula el primer término. (1 pts.)

F)El primer término de una progresión aritmética es 1, el segundo 2 y la suma de todos sus términos 210. Averigua cuántos términos tiene esta progresión. (1 pts.)

G)En una progresión aritmética de 6 términos, el primero vale 2 y la suma de todos ellos es igual a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión. (1 pts.)

H)La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3 y el último término es 1. Halla los otros tres términos. (2 pts.)

I)En una progresión aritmética el primer término vale 3 y la diferencia es 2. Averigua cuántos términos de esta sucesión hay que sumar para que el resultado sea 10200. (2 pts.)

J)Hallar el cuarto término de una progresión aritmética de la que se sabe que la suma de sus 2 primeros términos es 4 y la suma de sus 3 primeros términos es 3. (2 pts.)

K)El primer término de una progresión aritmética es 117; el último es –30 y la suma de todos los términos es 2175. Averigua el número de términos de la progresión y la diferencia. (2 pts.)

L)Sabiendo que la diferencia de una progresión aritmética es 3 y que la suma de los veinticinco primeros términos es 29 veces el último, calcula éste y el primero. (2 pts.)

M)Determinar la razón de una progresión aritmética de 100 términos sabiendo que el primer término es 1 y que la suma de los términos 1750. (2 pts.)

II. Referencias Bibliografía

[1] López González, Filomena. Diversificación I, ESO: ámbito científico tecnológico. Editex

[2] Margallo Toral, José. Matemáticas: 3º Educación Secundaria Obligatoria. Editex

[3] Ballester Sampedro, Francisco J. Ejercicios con sucesiones, progresiones aritméticas y geométricas en secundario. Liber Factory. España, Madrid.

[4] Consultado el 19 de Junio de 2010 de la World Wide Web: http://www.clasesdeapoyo.com/documents/search/3153

[5] Consultado el 19 de Junio de 2010 de la World Wide Web:http://www.aulafacil.com/matematicas-progresiones-aritmeticas/curso/Lecc-1.htm

[6] Grupo Azaquiel (2001). Proyecto Azarquiel, matematicas: segundo ciclo 4º B de E.S.O. Orientaciones Didácticas (1ra edición). Ediciones de la Torre. España, Madrid

[7] Castelerio Villalba, José Manuel (2008). La Matemática es Facil: Manual de Matemática Básica para la Gente de Letras. Esic editorial. España, Madrid.

[8] Sámchez Rubio, Cristobal (2007). Manual de Matemáticas para Preparación Olímpica.Publicacions de la Universitat Jaume I.